Корректное определение ранга матрицы

Сегодня в интернете обнаружил статью «Определитель и ранг матрицы». Материал в ней представлен доступно, приведены примеру кода на языке Python. Однако в тексте присутствует довольно неоднозначная формулировка, а именно: «Ранг матрицы соответствует максимальному количеству линейно-независимых векторов-строк или векторов-столбцов матрицы. При этом ранг матрицы по столбцам всегда совпадает с рангом матрицы по строкам (в линейной алгебре есть целая теорема доказывающая это, поверим на слово пока). То есть ранг матрицы определяет количество информации, содержащееся в матрице. Если ранг матрицы 3 x 3 равен 1, то матрицу можно свести к одному вектору и мы вообще не потеряем информацию, так как все остальные вектора матрицы выводятся из оставшегося вектора».

Разберём этот фрагмент на конкретном примере. Предположим, у нас есть три турникета, расположенных в Твери, Тюмени и Владивостоке. Пусть некий наблюдатель посчитал сколько европейцев, негров и азиатов прошло через каждый турникет за 1 час.

Из этих замеров получаем матрицу:

Легко можно заметить, что второй и третий столбцы зависят от первого. Следуя логике автора, всю матрицу можно свести к первому столбцу без потери информации, так как остальные данные можно получить из содержимого первого. Возвращаясь к примеру, получаем, что число прошедших через турникет негров можно выразить через количество миновавших его азиатов или европейцев, а численность азиатов зависит от европейцев.

Вспомнив условия, в которых были получены исходные данные, приходим к выводу, что данная зависимость – ложная. Отбросив в сторону явный умысел и «божий промысел» (в западной статистике закладывается 3% на него), получаем, что фактически никакой зависимости нет. Таким образом, если в дальнейшем будет использоваться только первый столбец, как содержащий в себе всю информацию матрицы, то сразу встанет вопрос о надежности и корректности полученных результатов, так как независимые наблюдения были переведены в раздел зависимых.

Если основываться на изложенном выше, наиболее корректным выглядит старое определение ранга матрицы: ранг матрицы равен максимальному порядку её минора, когда хотя бы один из них не равен «0». В этом случае ранг выше представленной матрицы 3х3 будет равняться 2, а не 1, как предлагает автор.

Пример с представителями разных рас не является единичным. К примеру, длина, ширина и высота твердого неупругого тела – не зависимые друг от друга величины, любая связь между которыми – случайна. В случае упругих тел связь появляется, так что выразить одно из другого становится возможным. Также данная зависимость может возникнуть у твёрдых тел производства человека. Однако, всегда можно найти такие величины, значения которых могут быть зависимы, но сами они – нет, и выражение одной через другую приведёт к потери заключенного в них смысла, что сделает проделанную работу математически правильной, но полностью бессмысленной.

Подводя итог данной статьи, можно сделать вывод: определение ранга матрицы через миноры правильнее и позволяет избежать серьёзных ошибок, исключив влияние на выполняемые расчеты ложных зависимостей.